Wir lassen Zinsen arbeiten

„Ich werde das Geld sicher erst benötigen, wenn ich mein Studium beginne. Deshalb werde ich meine Zinsen nicht abheben, sondern auf dem Konto belassen. Dann werden die Zinsen in den weiteren Jahren auch verzinst. Das sind dann bei 2,5% Zinsen nach fünf Jahren immerhin 11.314,08 €“

Aufgabe 6:
Überprüfe Stefanies Behauptung!
Berechne die Kapitalentwicklung von 10.000 € bei verschiedenen Zinssätzen von zwei bis zehn Prozent und einer Anlagedauer von einem bis zwanzig Jahren.

Die zu diesem Grafen gehörende Funktion kennst Du vielleicht schon aus dem Mathematikunterricht. Es ist eine Exponential­funktion.

Wenn sich eine Größe in gleichen zeitlichen Abständen um den gleichen prozentualen Betrag vergrößert, so sprechen wir von exponentiellem Wachstum.

Aufgabe 7:
Erkundige Dich über die aktuelle Inflationsrate und über den Zinssatz für „normale“ Sparbücher. Simuliere dann die reale Kapitalentwicklung, d.h. unter Berück­sichtigung der aktuellen Inflationsrate, von 10.000 € bei einer Anlagedauer von einem bis zwanzig Jahren.

Aufgabe 8:
Bestimme wie oben - unter Berücksichtigung der Inflationsrate - die reale Kapitalentwicklung von 10.000 € bei verschiedenen Zinssätzen von 0 bis 5 Prozent und einer Anlagedauer von einem bis zwanzig Jahren.

Aufgabe 9:
Angenommen, der biblische Judas habe seine 30 Silberlinge, die er für den Verrat an Jesus bekommen haben soll, im Jahre 33 bei der Bank von Jerusalem eingezahlt und dort bis zum heutigen Tage zu 2,5 % verzinst angelegt. Welche Summe könnten sich seine Erben heute teilen?

Stefanie hat in einer Formelsammlung nachgeschaut und dort eine Formel gefunden, mit der sie das Wachsen eines Geldbetrages mit Zinseszins ausrechnen kann.

K_n = K₀ ( 1 + p / 100 )ⁿ

Das bedeutet beispielsweise: Wenn ich ein Anfangskapital K₀ = 10.000 € mit einem Zins­satz von p = 4 % fünf Jahre lang verzinsen lasse, so ergibt sich als Endkapital
K₅ = 10.000 € ( 1 + 4 / 100 )⁵ = 12.166,53 €
Wir begründen jetzt diese Formel:
Wenn das Startkapital K₀ ist, so ist dieses nach einem Jahr und einem Zinssatz von p% auf
K₁ = K₀ + K₀ • p / 100 = K₀ (1 + p / 100) gewachsen.
Im darauf folgenden Jahr wächst das neue Kapital K₁ genauso:
K₂ = K₁ + K₁ • p / 100 = K₁ (1 + p / 100) und wegen K₀ = K₀ (1 + p / 100) folgt dann:
K₂ = K₀ (1 + p / 100)²
Im darauf folgenden Jahr wächst das neue Kapital K₂ genauso, und es gilt
K₃ = K₀ (1 + p / 100)³ und so weiter und so fort.
Die Formel, die dieses Wachstum beschreibt, ist eine Exponentialfunktion. Sie gibt dieser Art des Wachsens den Namen.

Stefanie hat sich bei ihrem Geldinstitut erkundigt und einiges über Festgeld erfahren. Die Zins­sätze waren folgende:
(Im Jahr 1990 - das waren noch Zeiten)

Aufgabe 10:
Stefanie behauptet: Es ist na­tür­lich „sonnenklar“, dass es für mich günstiger ist, mein Geld dreimal für je einen Monat als Festgeld anzulegen als einmal für drei Mo­nate! Überprüfe Ste­fa­nies Be­haup­tung!

Aufgabe 11:
Wie hoch müsste der Zinssatz für „Dreimonatsgeld“ genau sein, damit er den gleichen Ertrag bringt wie dreimal „Einmonatsgeld“ zu 4,00 %?
Welche unsichere Modellannahme geht in diese Berechnung ein?