Druckversion vom 21.05.2024 16:00 Uhr
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Aufgaben
Aufgabe 1: zur Beschreibung des ISBN-Codes auf der vorangegangenen Seite
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Aufgabe 2: In dem unkonventionellen Roman "Meine italienische Reise in die Mathematik" von Albrecht Beutelspacher über einen jungen deutschen Mathematiker, der einen Forschungsauftrag in Italien erhält, wird die Lösung des ISBN-Problems ausführlich und unterhaltsam geschrieben, dargestellt. Bei der Lösung der Aufgabe 1 habt ihr gesehen, dass der ISBN-Code alle Einzelfehler erkennt UND dass der ISBN-Code alle Vertauschungsfehler erkennt.
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Warum erkennt der ISBN-Code Einzelfehler und Vertauschungsfehler?
Der Grund ist, dass 11 eine Primzahl ist. In der Schule glauben viele, dass Primzahlen ein Teil der reinen Mathematik sind: schwierig und zu nichts nütze.
Wenn a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 eine gültige ISBN ist, dann ist die Summe
S1 = 10a1 + 9a2 + 8a3 + 7a4 + 6a5 + 5a6 + 4a7 + 3a8 + 2a9 + a10
ohne Rest durch 11 teilbar.
Angenommen, es geschieht ein Fehler an der Stelle a1.
Dann wird die neue Zahl genau dann als gültige ISBN gewertet, wenn die entsprechende Summe S2 auch durch 11 teilbar ist.
Wenn S1 und S2 durch 11 teilbar sind, dann ist auch die Differenz durch 11 teilbar:
(S1 - S2) = 10 (a1 - a1´)
Dann müsste 10 (a1 - a1´) auch ohne Rest durch 11 teilbar sein.
Da 11 eine Primzahl ist und teilerfremd zu 10, muss also schon a1 - a1´ durch 11 ohne Rest teilbar sein. Da die Ziffern a1 und a1´ mindestens 0 und höchsten 9 sind, ist der Wert der Differenz zwischen -9 und +9. Die einzige Zahl, die in diesem Bereich durch 11 ohne Rest teilbar ist, ist die 0. Dann sind die beiden Zahlen aber gleich.