Aufgaben

Aufgabe 1:  zur Beschreibung des ISBN-Codes auf der vorangegangenen Seite  Prüfe an selbst gewählten Beispielen, ob der ISBN-Code Vertauschungsfehler erkennt. Prüfe an selbst gewählten Beispielen, ob der ISBN-Code Einzelfehler erkennt.

Aufgabe 2:  In dem unkonventionellen Roman "Meine italienische Reise in die Mathematik" von Albrecht Beutelspacher über einen jungen deutschen Mathematiker, der einen Forschungsauftrag in Italien erhält, wird die Lösung des ISBN-Problems ausführlich und unterhaltsam geschrieben, dargestellt. Bei der Lösung der Aufgabe 1 habt ihr gesehen, dass der ISBN-Code alle Einzelfehler erkennt UND dass der ISBN-Code alle Vertauschungsfehler erkennt. Woran liegt das? Erarbeite Dir die Erklärung unten an Beispielen. Argumentiere analog für andere Stellen der ISBN Übertrage die Argumentation auf Vertauschungen

Warum erkennt der ISBN-Code Einzelfehler und Vertauschungsfehler?

Der Grund ist, dass 11 eine Primzahl ist. In der Schule glauben viele, dass Primzahlen ein Teil der reinen Mathematik sind: schwierig und zu nichts nütze.

Wenn a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆ a₇ a₈ a₉ a₁₀ eine gültige ISBN ist, dann ist die Summe

S₁ = 10a₁ + 9a₂ + 8a₃ + 7a₄ + 6a₅ + 5a₆ + 4a₇ + 3a₈ + 2a₉ + a₁₀

ohne Rest durch 11 teilbar.

Angenommen, es geschieht ein Fehler an der Stelle a₁.
Dann wird die neue Zahl genau dann als gültige ISBN gewertet, wenn die entsprechende Summe S₂ auch durch 11 teilbar ist.

Wenn S₁ und S₂  durch 11 teilbar sind, dann ist auch die Differenz durch 11 teilbar:

(S₁ - S₂) = 10 (a₁ - a₁´)

Dann müsste 10 (a₁ - a₁´) auch ohne Rest durch 11 teilbar sein.
Da 11 eine Primzahl ist und teilerfremd zu 10, muss also schon a₁ - a₁´ durch 11 ohne Rest teilbar sein. Da die Ziffern a₁ und a₁´ mindestens 0 und höchsten 9 sind, ist der Wert der Differenz zwischen -9 und +9. Die einzige Zahl, die in diesem Bereich durch 11 ohne Rest teilbar ist, ist die 0. Dann sind die beiden Zahlen aber gleich.